A complexidade da Matemática musical

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A teoria musical dos conjuntos usa alguns dos conceitos da teoria matemática dos conjuntos para organizar os objetos musicais e descrever suas relações.

Para analisar a estrutura de uma peça musical (tipicamente de atonal) usando a teoria musical dos conjuntos, começa-se geralmente com um conjunto de sons, que podem formar motivos ou acordes. Aplicando operações simples como transposição e inversão descobre-se estruturas profundas na música. Esse tipo de operação é chamado de isometria, porque preserva os intervalos entre sons num conjunto.
Conexões com a álgebra abstrata

Partindo dos métodos da teoria musical dos conjuntos, muitos teóricos expandiram para o uso da álgebra abstrata na análise musical. Por exemplo, as notas em uma oitava de temperamento igual formam um grupo abeliano com 12 elementos. É possível descrever o temperamento justo em termos de um grupo abeliano livre[2].

Alguns teóricos propuseram aplicações musicais de conceitos algébricos mais sofisticados. O matemático Guerino Mazzola aplicou a teoria topos à música, mas o resultado é controvertido.

A escala cromática tem uma ação livre e transitiva de \mathbb{Z}/12\mathbb{Z}, com a ação sendo definida via transposição de notas. Logo, a escala cromática pode ser vista como um torsor para o grupo \mathbb{Z}/12\mathbb{Z}.
Conexões com a teoria dos números

A interpretação moderna do temperamento justo é inteiramente baseada no teorema fundamental da aritmética.
A proporção áurea e o número de Fibonacci

Acredita-se que alguns compositores escreveram sua música usando a proporção áurea e os números de Fibonacci para auxiliá-los.[3]. Para o ouvinte, no entanto, não é possível determinar o quanto esse uso é intencional ou inconsciente.

Ernő Lendvai analisa os trabalhos de Béla Bartók como baseados em dois sistemas opostos: a proporção áurea e a escala acústica. Em Música para cordas, percussão e celesta, a progressão do xilofone no começo do terceiro movimento ocorre nos intervalos 1:2:3:5:8:5:3:2:1. O compositor francês Eric Satie usou a proporção áurea em Sonneries de la Rose Croix e outra peças, o que deu a sua música um senso de simetria.

A proporção áurea é notada também na organização das seções da música Reflets dans l'eau de Images pour piano, de Claude Debussy, organizada segundo intervalos de 34, 21, 13 e 8 (uma seqüência de Fibonacci descendente), e o clímax se situa na posição φ.
Sistemas de afinação

Uma escala musical é um seqúência discreta de sons usados para fazer ou descrever música. A escala tem um intervalo de repetição, normalmente a oitava. Isto significa que para cada nota na escala temos um som correspondente uma oitava acima e uma oitava abaixo, apesar dos limites do ouvido humano para eles. Como estamos geralmente interessados nas relações ou razões entre as alturas (conhecidas como intervalos e não nas alturas precisas em si mesmas para descrever a escala, é comum nos refirmos a todas as alturas da escala em termos de sua razão a partir de uma altura particular, à qual é dada o valor um (escrita geralmente 1/1 quando se discute a entonação justa). Esta nota pode, mas não necessariamente, ser uma que funcione como tônica da escala. Para afinações que usam números irracionais (i.e., temperamentos), ou para comnparação do tamanho de intervalos, usa-se geralmente os cents.


Afinação pitagórica
Entonação justa
Nota Razão Intervalo
0 1:1 uníssono
1 135:128 segunda menor
2 9:8 segunda maior
3 6:5 terça menor
4 5:4 terça maior
5 4:3 quarta perfeita
6 45:32 trítono diatônico
7 3:2 quinta justa
8 8:5 sexta menor
9 27:16 sexta maior pitagórica
10 9:5 sétima menor
11 15:8 sétima maior
12 2:1 oitava


Nota Freqüência (Hz) Freqüência
Distância da
nota anterior Log freqüência
log2 f Log freqüência
Distância da
nota anterior
lá2 110.00 N/A 6.781 N/A
lá2# 116.54 6.54 6.864 0.0833 (or 1/12)
si2 123.47 6.93 6.948 0.0833
dó2 130.81 7.34 7.031 0.0833
dó2# 138.59 7.78 7.115 0.0833
ré2 146.83 8.24 7.198 0.0833
ré2# 155.56 8.73 7.281 0.0833
mi2 164.81 9.25 7.365 0.0833
fá2 174.61 9.80 7.448 0.0833
fá2# 185.00 10.39 7.531 0.0833
sol2 196.00 11.00 7.615 0.0833
sol2# 207.65 11.65 7.698 0.0833
lá3 220.00 12.35 7.781 0.0833

Identidade

harmônica
Nome comum Exemplo Múltiplo de

Freq. Fundamental
Razão

(esta identidade/última oitava)
1 Fundamental lá2 - 110Hz 1x 1/1 = 1x
2 Oitava lá3 - 220 Hz 2x 2/1 = 2x (also 2/2 = 1x)
3 Quinta Perfeita mi3 - 330 Hz 3x 3/2 = 1.5x
4 Oitava lá4 - 440 Hz 4x 4/2 = 2x (also 1x)
5 Terça Maior dó#4 - 550 Hz 5x 5/4 = 1.25x
6 Quinta Perfeita mi4 - 660 Hz 6x 6/4 = 1.5x
7 "Sétima Perfeita" sol#4 - 770 Hz 7x 7/4 = 1.75x
8 Oitava lá5 - 880 Hz 8x 8/4 = 2x (also 1x)


Identidade Harmônica Nome comum Ponto Linear
Escala Exponential Ponto Linear
Escala Normalizada (linear)
1 fundamental 1/1 = 1x log2(1.0) = 0.00
2 oitava 2/1 = 2x log2(2.0) = 1.00
3 quinta perfeita 3/2 = 1.5x log2(1.5) = 0.585
4 oitava 4/2 = 2x log2(2.0) = 1.00
5 terça maior 5/4 = 1.25x log2(1.25) = 0.322
6 quinta perfeita 6/4 = 1.5x log2(1.5) = 0.585
7 "sétima perfeita" 7/4 = 1.75x log2(1.75) = 0.807
8 oitava 8/4 = 2x log2(2.0) = 1.00

fonte:www.wikipedia.com

Música e Razão

fonte: www.saindodamatrix.com.br/.../07/emanacoes.htm

fonte:www.fc.up.pt/mat/index.php?id=154


A música envolve a razão? Em que circunstância?



Pesquisando a origem da música, descobrimos um encontro importante da música com a matemática.Em muitos povos da Antigüidade,a música e a matemática aparecem em campos separados, porém com forte presença.

A organização das escalas musicais foi feita utilizando a matemática, mesmo que de maneira diversificada nos diversos povos.

Pitágoras é quem mais desta-se nas pesquisas, experimentos e descobertas desta área.

Ele é o possível criador do Monocórdio, no século VI a.C, esta sua descoberta origina o quarto ramo da matemática, que é a Música.

Monocórdio ou manicórdio é um instrumento musical, de treinamento e de laboratório, composto por uma caixa de ressonância sobre a qual era estendida uma única corda presa a dois cavaletes móveis.

fonte: www.musicaeadoracao.com.br

a Matematica na música, elas se correspondem.

fonte: www.usp.br/.../espaco26dez/0comportamento.htm

Na sua definição mais simples, Música é "ritmo e som". Ou seja, é uma combinação de sons executados em determinada cadência. A importância da Matemática na Música está presente desde a concepção mais fundamental do que é "som musical" e do que é "ritmo".

Os sons com os quais podemos criar nossas músicas constituem o que chamamos de "escala musical". Eles são definidos a partir de relações matemáticas muito precisas e, quando combinados de determinadas maneiras, podem produzir resultados agradáveis aos nossos ouvidos. Essas relações matemáticas, junto com as características intrínsecas das vibrações sonoras, são a base para a "harmonia" na superposição dos sons musicais.

Por outro lado, a maneira como encadeamos os sons em nossas músicas também segue regras com fundamentos matemáticos. Todos os tipos de "ritmos" que podemos conceber musicalmente obedecem a algum tipo de divisão fracionária, cuja característica sempre está vinculada a um determinado gênero artístico ou a um tipo de cultura.

Conhecer essas influências matemáticas é, antes de tudo, conhecer a essência da própria Música.

fonte: www.musicaeciencia.com.br

Aula De Matemática
Tom Jobim

Composição: Antonio Carlos Jobim / Marino Pinto

Pra que dividir sem raciocinar
Na vida é sempre bom multiplicar
E por A mais B
Eu quero demonstrar
Que gosto imensamente de você

Por uma fração infinitesimal,
Você criou um caso de cálculo integral
E para resolver este problema
Eu tenho um teorema banal

Quando dois meios se encontram desaparece a fração
E se achamos a unidade
Está resolvida a questão

Prá finalizar, vamos recordar
Que menos por menos dá mais amor
Se vão as paralelas
Ao infinito se encontrar
Por que demoram tanto os corações a se integrar?
Se infinitamente, incomensuravelmente,
Eu estou perdidamente apaixonado por você.

fonte:www.cifraclub.com.br\letrademusicas

UMA PROGRESSÃO GEOMÉTRICA MUITO ESPECIAL- prof º Luiz Netto*

fonte: www.caraipora.tripod.com/assuntos.htm

*Professor graduado em Matematica pela Faculdade de Filosofia, Ciências e Letras de Santo André -SP

Quando no estudo da matemática nos deparamos com algum tópico que podemos visualizar uma aplicação prática, e para nossa felicidade, há muitos deles, se já apreciamos o seu estudo, isto reforça ainda mais nosso interesse, pois afinal aquilo que é produto exclusivo da inteligência do homem, a matemática, encontra um modelo prático que represente o que era produto da inteligência, da imaginação. Assim, quando estudamos a matemática da música, em seus vários aspectos, como por exemplo, na análise das sequências das notas sonoras da escala musical igualmente temperada, nos damos conta que os valores das frequências das sequências de notas de uma oitava, formam uma PROGRESSÃO GEOMÉTRICA, cuja razão é igual a dois elevado a um doze avos.

Eu teria gostado muitíssimo em minha época de estudante que meus professores me houvessem chamado atenção para este fato, para essa progressão especial, que fala de algo que não há ser humano que não goste: A Música. Assim, além de descobrir algo novo, teria aumentado ainda mais o meu interesse pelo seu estudo. Mas... as vezes acho que poucos deles sabiam disso... porque claro está que na medida que mostramos as múltiplas utilidades dos estudos de matemática, aumenta o interesse do aluno e deixaríamos de ouvir de muitos estudantes: Não gosto de matemática... ! - quando na verdade estão expressando que não gostam é daquilo que não compreendem e comprender certas coisas - depende muito da didática daqueles que nos ensinam! Mas, deixemos um pouco de lado dessa filosofia pedagógica, e voltemos para a nossa progressão geométrica.

Assim, podemos imaginar essa progressão geométrica com o primeiro termo igual a unidade, e os termos subsequentes obtidos atraves das multiplicações sucessivas por 1,0594631:

Vemos aqui uma sequência de 13 têrmos dessa progressão geométrica que representa a sequência das notas da escala musical igualmente temperada pois 12 são seus intervalos musicais compondo uma oitava. O número 2, sobre o número 1,0594631 corresponde ao primeiro intervalo. O décimo terceiro termo já pertence à próxima oitava, ou seja se você começa por exemplo pela nota do - (1), quando tiver subido uma oitava, a frequência dessa nota será o dobro - (2). Assim, se a nota escolhida for a nota LA2, que sabemos tem uma frequência de 220 Hz, quando tivermos percorrido a oitava toda, a frequência será de 440 Hz.

Exemplificando, para a nota La2: É só multiplicarmos todos estes números da sequência da PG por 220: 220*1 - 220*1.0594631 - 220*1,1224621 e teremos a sequência:


220 - 233,08 - 246,94 - 261,62 - 277,18264 - 293,66478 - 311,124 - 329,62756 - 349.22824 - 369,9944 - 391,99541 - 415,30471 - 440, notas estas que são:
la2 - la# - si - do - do# - re - re# - mi - fa - fa# - Sol - sol# - La3



Assim, você percebe que pode escolher qualquer um destes números e ir multiplicando sequencialmente pela razão 1,0594631 para obter todas as notas das oitavas seguintes, ou seja todos os termos dessa progressão geométrica, muito especial, porque com ela construímos a Escala Musical Igualmente Temperada.


OUTRA PROGRESSÃO GEOMÉTRICA MUITO ESPECIAL

O leitor poderá indagar o que poderia representar uma progressão geométrica cujos termos fossem formados pelo inverso dessa razão, ou seja: 1/(1.0594631)^n, ou seja o primeiro termo como 1 e os outros obtidos pela multipicação por essa razão.

Então teríamos para o primeiro termo, o inverso de 1 que é um mesmo, para o segundo termo,


para o terceiro termo o inverso de 1,1224621, para o quarto termo, o inverso de 1,189 2071, e assim sucessivamente, formando a seguinte sequência de têrmos:

1 - 0,9438743 - 0,8908987 - 0,8408964 - 0,7937005 - 0,7491535 - 0,7071067 - 0,6674198 - 0,6299604 - 0,5946035 - 0,5612309 - 0,5297314 - 0,5..... etc...

Mas o que esta sequência de números podem representar? - Estas sequências de números podem representar os comprimentos das cordas que percurtimos para obter as várias frequências da progressão geométrica de razão 1.0594631. Vejam a figura abaixo, o instrumento violão, onde aparecem todos esses números. Você pode escolher então como primeiro termo de sua progressão geométrica, inversa daquela primeira que estudamos, como sendo o comprimento das distâncias entre as cordas soltas do instrumento e assim obterá todas as distancias das cordas que correspondem as frequências obtidas, multiplicando seguinda pela razão: 0,9438743. Não é mesmo espetacular? ...Hein? Então, a matemática é algo para ser estudado com muito carinho, devagar, sem pressa, com reflexão, porque uma vez entendido algo, e bem entendido, esse entendimento traz uma grande satisfação interior, qual seja; O SABER, e uma outra maior ainda, poder ensinar aquilo que foi entendido.





À Circunferência mais externa do lado das frequências, corresponde a circunferência
mais interna do lado do Comprimento das Cordas - Quanto mais alta é a frequência
menor é o comprimento da corda que produz sua vibração. Repare que embora os
invervalos sejam iguais, eles vão ocupando espaços cada vez maiores do lado das
frequências e o inverso ocorre do lado do comprimento das cordas.

fonte:www.caraipora.tripod.com/assuntos.htm

A matemática e a música

fonte: www.fc.up.pt/cmup/musmat/


Qualquer movimento vibratório de ar na entrada do ouvido corresponde a um tom musical que pode ser sempre e de maneira única exibido como uma soma de um número infinito de movimentos vibratórios simples, correspondendo aos sons parciais deste tom musical. As primeiras componentes na Série Harmônica correspondem às freqüências associadas aos primeiros termos da Série de Fourier que determinam portanto razões de pequenos números inteiros relacionados às consonâncias pitagóricas, tanto uma corda como colunas de ar em instrumentos de sopro possuem a característica de vibrar não apenas como um todo, mas ainda simultaneamente como duas metades, três terços, quatro quartos e etc.

Do ponto de vista matemático, observa-se que a força de cada harmônico contribuirá para a construção da forma da vibração periódica que se relaciona com o timbre do som.

Nos instrumentos musicais, exploram-se e utilizam-se harmônicos de diversas maneiras, os instrumentos de sopro obtêm harmônicos de um determinado som soprando-o com maior intensidade, enquanto que os executantes de instrumentos de corda podem fazer uma única corda vibrar em seções correspondentes a determinado harmônicos, tocando levemente em pontos de máximo que inibem harmônicos inferiores.


Origem da Matemática e da Música

Em quase todos os povos da Antiguidade encontram-se manifestações destes dois campos em separados. O poder conquistador da música já se expressa na mitologia grega em Orfeu, cujo canto acompanhado de lira sustava os rios, amansava feras e movia pedras. A matemática também se faz presente desde os tempos mais remotos, por exemplo na contagem das coisas. A interação entre essas áreas torna-se fortemente manifesta a partir da necessidade de equacionar e solucionar problemas da consonância, no sentido de buscar fundamentos científicos capazes de justificar tal conceito.

Com relação à organização de escalas musicais, esta ocorreu de diversas maneiras em diferentes povos e épocas, porém com alguns aspectos em comum. Os gregos desenvolveram os tetracordes e depois escalas com sete tons.

Teóricos musicais como Pitágoras, Arquitas, Aristoxeno, Erastóstenes se dedicaram à construção de escalas desenvolvendo diferentes critérios de afinidade. Por exemplo, valorizando os intervalos de quinta perfeitas, bem como a utilização somente de números de 1 a 4 na obtenção das frações da corda para gerar as notas da escala, Pitágoras estabeleceu uma afinação utilizando percursos de quinta para a obtenção das notas da escala.

Arquitas constrói sua escala baseada em frações da corda resultantes de medias harmônicas e aritméticas daquelas encontradas por Pitágoras no experimento do monocórdio. Já Erastóstenes elaborou a diferenciação entre intervalos calculados aritmeticamente a maneira de Aristoxeno, de intervalos calculados pela razão.

fonte:www.musicaeadoracao.com.br/tecnicos/matematica/musica_matematica.htm